Творческая работа "Орнаменты"

                                                                                      

                                                    Учитель математики: Капитанова Неля Владимировна

 План

 

1. Бордюры.

2. Герих .

3. Паркет (мозаика).

4. Паркеты Мориса Эшера.

5. Орнамент – отпечаток души народа.

6. Мордовские узоры

 

          Искусство орнамента содержит в неявном виде наиболее  древнюю часть известной нам высшей  

          математики.

                                                                                                                                    Г. Вейль

 

Восхищаясь рукотворной красотой орнаментов, воплощенных в предметах декоративно- прикладного искусства - коврах, гобеленах,  вышивке,- мы не задумывались о роли геометрии в создании этих произведений. Между тем сочетание таланта мастера и его геометрических умений занимает важное место в орнаментальном искусстве. Орнамент (от лат. оrnаmепtшп - украшение) - это узор, состо­ящий из повторяющихся, ритмически упорядоченных элементов. Орнамент предназначен для украшения различных предметов (по­суды, мебели, текстильных изделий, оружия) и архитектурных сооружений.­

        Связанный с поверхностью, которую он украшает и зри­тельно организует, орнамент, как   

        правило, выявляет и подчеркива­ет своим построением, формой и цветом архитектурные и   

         конструктивные особенности предмета, природную красоту материала.

В построении орнамента используют главным образом принцип симметрии. Рассматривая разные композиции, легко увидеть, что орнамент можно продолжать в разные стороны, даже если его пер­воначальная композиция ограничена и замкнута.

 

                                                       Как создают орнаменты.

                По характеру композиции и расположению на украшаемой по­верхности орнамент может быть нескольких  видов: ленточным (его еще называют бордюром), сетчатым и розетчатым.

        Рассмотрим ленточные орнаменты - бордюры. Бордюром на­зывают плоскую геометрическую фигуру, характеризующуюся век­торами а и па (где n - целое число), при которых эта фигура пере­ ходит в себя, но не переходит в себя при параллельных переносах , иного вида. Вектор а называют направляющим для бордюра.

         Простейший бордюр построить очень просто: достаточно нарисо­вать какую-нибудь геометрическую фигуру и выполнить параллель­ный перенос на заданный вектор влево и вправо вдоль полосы. Такая "первоначальная фигура" называется фундаментальной областью бордюра. Бордюры встречаются в разных местах: в настенных росписях,  на лестничных переходах, их можно увидеть в чугунном литье, кото­рое используется в оградах парков, решетках мостов и набережных.

         Доказано, что существует семь классов симметрий бордюров.

         Русский ученый- кристаллограф Е.С. Федоров доказал, что существует всего 17 типов плоских орнаментов с различными видами симметрии.

 

СИММЕТРИЯ - ОСНОВОПОЛАГАЮЩИЙ ПРИНЦИП УСТРОЙСТВА МИРА

                                                           Симметрия - в широком или узком смыс­ле, в зависимости

                                                           от того, как

                                                            вы опреде­ляете значение этого понятия,- является той

                                                            идеей,

                                                            посредством которой человек на протяжении веков

                                                            пытался постичь

                                                            и создать порядок, красоту и совершенство.

Г.Вейль

 

            Симметрия принадлежит к числу широко и повсеместно рас­пространенных явлений. Ее всеобщность служит эффективным инструментом познания природы. Симметрия в природе - следст­вие необходимости сохранять устойчивость. За видимой симметри­ей внешних форм лежит невидимая внутренняя симметрия постро­ения, пространственного расположения элементов, гарантирую­щего равновесие. Можно сказать, что симметрия - это проявление стремления материи к надежности и прочности. Действительно, симметричные формы наиболее устойчивы к разного рода воздей­ствиям, поскольку они обеспечивают повторяемость удачных форм.

 

    Однако природа была бы слаба и бездарна, если бы все время только дублировала саму себя.  Даже для повторения  своих созда­ний она выбирает различные пути, что особенно наглядно  

    просле­живается в разных видах симметрии.

    

          Симметрия многообразна. Неизменность тех или иных объектов может наблюдаться по отношению к разным операциям - поворотам, отражениям,  переносам

 

Будем называть симметрией фигуры любое преобразование, пе­реводящее фигуру в себя, т.е. обеспечивающее ее самосовмещение.

 

Вначале перечислим знакомые виды симметрии (их определе­ния есть в любом школьном  учебнике геометрии). К ним относятся три вида: симметрия относительно точки  (центральная симмет­рия), симметрия относительно прямой (осевая симметрия) и  сим­метрия  относительно плоскости.

 

                Используя трафарет, и геометрические преобразования получим бордюр.

 

параллельный перенос

                            

 зеркальная симметрия относительно вертикальной оси

поворот на 180 вокруг точки О   (центральная симметрия)

симметрия  относительно горизонтальной оси + параллельный перенос

         Помимо описанных видов орнамента в произведениях искусст­ва встречается еще один. Такой орнамент замкнут и ограничен опр­еделенной геометрической формой (квадратом, ромбом, треуголь­ником, кругом и др.). Орнамент, вписанный в круг или в пра­вильный многоугольник, называется розеткой.

 

    Обратимся теперь к замкнутым орнаментам, характерным для искусства Средней Азии  XII-XVII  вв. 

    Они имеют свои особенно­сти в композиции, в технологии исполнения и особое название- гер­их.

     Рассмотрим некоторые геометрические построения, характер­ные для герихов. Все герихи составлялись из правильных и звездчатых много­yгoльников, а также из отдельных частей этих фигур. В построении гериха использовались окружность

    и ее части. Самый простой гео­метрический анализ позволяет сделать вывод о том, что  художни­ки- орнаменталисты при построении орнамента пользовались сто­роной и диагональю квадрата и их "производными". При построе­нии орнамента они выполняли последовательное деление отрезка пополам, использовали египетский треугольник, делили окруж­нocть на 4,8, 16, 32 части.

         Геометрические приемы - основа архитектурного проектирова­ния - распространяются и на архитектурный орнамент. Особый вклад в распространение геометрических знаний внесла книга Абу­л-Вафы Бузджани (840-998) "О том, что необходимо ремесленни­кам из геометрических построений". Начнем с так называемых афрасиабских панелей. Это высокохудожественные произведения орнаментального искусства Средней Азии тысяче­летней давности. Одну из таких панелей можно заметить на дворце Саманидов в Самарканде . Рассматривая ее, можно уви­деть не одну математическую зависимость между отдельными эле­ментами частей панели.

         Кроме paccмoтpeнных линейных орнаментов (бордюров) существу­ют плоские орнаменты, заполняющие лист бумаги (плоскость) без промежутков. Такие орнаменты называют ПАРКЕТАМИ. Это такие же паркеты, как в наших квартирах, как орнаменты на линолеуме, как рисунки на обоях.   

         Кажется, что придумать такой затейливый орнамент невероятно  сложно. Конечно, без таланта здесь никак не обойтись. Но нужны и некоторые геометрические знания и умения. Овладев ими, каждый школьник сможет нарисовать свой неповторимый орнамент (паркет).

                                                   Паркет как вид орнамента

            B строительном деле паркет - это настил пола из твердых пород дерева, обработанного в виде тонких дощечек разных форм. Нали­чие паркета в жилище обеспечивает его гигиену, малую теплопро­водность и хорошую звукоизоляцию. Паркет - это не только удоб­ство, но и красота помещения, поскольку он - своеобразный орна­мент. Над созданием все, новых и новых паркетов-орнаментов тру­дились многие поколения мастеров.

        В математике паркетом называют "замощение" плоскости по­вторяющимися фигурами без пропусков и перекрытий.

          Еще пифагорейцы установили, что вокруг одной точки могут ле­жать либо шесть правильных треyrольников, либо четыре квадрат либо три правильных шестиугольника . Поскольку это утверждение касается каждой точки плоскости, процесс " замо­щения" плоскости, начатый от точки О, может быть продолжен точки 01 и т.д. Таким образом, получается, что простейшие паркеты открыты пифагорейцами около 2500 лет тому назад.

       Широко известны покрытия плоскости правильными многоугольниками, показанные                

          на рис. 1.

Рис. 1

Их особенность в том, что в каждом из них участвуют правильные многоугольники одного вида и «звезды» в каждом узле такой мозаики одинаковы (звезда – это какой-либо узел и все примыкающие к нему многоугольники).Нетрудно доказать, что других покрытий плоскости такого типа не существует. Действительно, если к вершине правильного р-угольника примыкают такие же многоугольники и их общее число равно k, то сумма углов всех многоугольников вокруг этой вершины должна быть равна 360°. Так как внутренний угол правильного p-угольника равен (1 – 2/p)180°, а в каждой вершине сходится k  p-угольников, имеет место уравнение 1/k + 1/p = 1/2, которое нужно решить в натуральных числах при р ? 3. Это уравнение можно записать в виде (p – 2)(k – 2) = 4. Имеется только три способа разложить 4 на целые положительные множители: 4?1, 2?2, 1?4. Это и завершает доказательство.

Упражнение 1. Попробуйте, начиная с правильного пятиугольника, построить покрытие плоскости так, что каждый следующий пятиугольник получается из предыдущего симметрией относительно одной из его сторон (т. е. мы «перекатываем пятиугольник через сторону»).

Попробуем снять ограничение о том, что в покрытии участвуют только одинаковые правильные многоугольники. Но, что важно, сохраним условие, что все звезды в покрытии «устроены одинаково» (и, конечно, что не допускаются наложения многоугольников). Именно такие покрытия плоскости и называются правильными мозаиками (или паркетами).

Упражнение 2. Попробуйте, начиная с правильного шестиугольника, пристраивая к нему снаружи равносторонние треугольники или правильные шестиугольники с той же длиной стороны, получить какие-либо мозаики.

В случае, рассматриваемом в этом упражнении, возможны три, с точностью до поворотов и отражений, типа вершинных звезд. Два из них порождают правильные мозаики, третий ведет к противоречию – в мозаике с необходимостью возникают звезды другого типа.

Если предположить, что в каком-либо узле мозаики сходятся правильные шестиугольник, треугольник и два квадрата, возникают две звезды, показанные на рис. 2:

Рис. 2

Упражнение 3. Убедитесь, что одна из возможностей, показанных на рис.2, приводит к мозаике (постройте ее), а другая нет.

Перейдем к доказательству того, что существует только одиннадцать различных, т. е. не совмещаемых преобразованием подобия, мозаик.

Рассмотрим какой-либо узел мозаики и обозначим через pk число примыкающих к нему правильных k-угольников, а через ?k = (1 – 2/k)? – величину внутреннего угла правильного k-угольника. Тогда в каждом узле мозаики имеет место соотношение

,

где в сумму включаются все слагаемые с номерами k, для которых к узлу примыкает хотя бы один k-угольник (для остальных k, по определению, полагаем pk = 0). Это необходимое (но не достаточное, как мы увидим) условие того, что из некоторого набора правильных многоугольников можно составить вершинную звезду правильной мозаики.

Таким образом,

. (*)

Ясно, что в узле мозаики сходится не менее трех и не более шести правильных многоугольников (почему?). Рассмотрим по отдельности мозаики с тремя, четырьмя, пятью и шестью многоугольниками в узле.

В случае трех многоугольников в узле они могут быть все одинаковыми; тогда из (*) получаем 3(1–2/k) = 2, т. е. k = 6 (рис. 1в). Возможна ситуация, когда в узле сходятся два правильных k-угольника и один n-угольник, отличный от них. В этом случае уравнение (*) принимает вид (1–2/n) + 2(1–2/k)= 2, т. е. k = 4n/(n–2) = 4 + 8/(n–2).

Целые k получаются только при n = 3, 4, 6, 10; соответствующие им k = 12, 8, 6, 5. Таким образом, для построения мозаик (с n ? k) здесь возникают три различные возможные устройства узлов, показанные на рис. 3.

Рис. 3

Упражнение 4. Проверьте, что из первых двух фигур на рис. 3 мозаики построить можно, а из третьей фигуры – нельзя.

Итак, в рассматриваемом нами случае осталось изучить уравнение

1/k + 1/m + 1/n = 1/2,  (**)

описывающее случай звезды из трех различных многоугольников (с k, m и n сторонами). Заметим, что неизвестные k, m и n в этом уравнении можно считать четными. Действительно, поскольку в каждой вершине сходятся три разных многоугольника, при обходе по периметру, скажем, k-угольника, многоугольники, примыкающие к его сторонам, должны чередоваться: за n-угольником должен следовать m-угольник и наоборот. Но, очевидно, это возможно только при четном k.

Таким образом, можно считать, что n = 2n1, m = 2m1, k = 2k1 и в силу нашего уравнения 1/n1 + 1/m1 + 1/k1 = 1.

Без ограничения общности можно считать, что k1 < m1 < n1. Тогда

1 = 1/n1 + 1/m1 + 1/k1 < 3/k1;

следовательно, k1 = 2 и 1/n1 + 1/m1 = 1/2.

Это уравнение мы уже решали в самом начале; единственное его решение при m1 < n1 – пара чисел m1 = 3, n1 = 6.

Итак, в рассматриваемом случае n = 12, m = 6, k = 4, т. е. в каждом узле мозаики сходятся квадрат, шестиугольник и 12-угольник.

Упражнение 5. Постройте мозаику для этого случая.

Обратите внимание, что эти три многоугольника в этой мозаике могут следовать вокруг вершины как по, так и против часовой стрелки, но получающиеся звезды можно совместить симметрией – они (зеркально) равны. (Этот случай уникален: во всех остальных правильных мозаиках, как мы увидим, любые две звезды можно совместить поворотом или переносом; все они имеют собственную ось симметрии.)

Изучим теперь те возможности, которые возникают, когда в узле мозаики сходятся четыре правильных многоугольника; здесь мы имеем уравнение 1/n + 1/m + 1/k + 1/l =1, причем без ограничения общности можно считать, что l ? k ? m ? n. Если l > 4, то 1/l < 1/4, 1/n < 1/4, 1/m < 1/4, 1/k < 1/4 и поэтому 1/n + 1/m + 1/k + 1/l < 1.

Следовательно, l ? 4. Если l = 4, то 1/n + 1/m + 1/k = 3/4; отсюда следует (как?), что n = m = k = l = 4 (т. е. мозаика состоит из квадратов; рис. 1б).

Если l = 3, то 1/n + 1/m + 1/k =2/3.

Заметим, что k < 5, т.к. при k ? 5 имеем: 1/n + 1/m + 1/k ? 1/ 5 + 1/ 5 + 1/ 5 = 3/5 < 2/3.

Если k = 4, то 1/n + 1/m = 5/12.

Если здесь m ? 5, то 1/n ? 5/12 – 1/5 = 13/60, т.е. 13n ? 60, что невозможно при n ? m ? 5. Поэтому m = 4 (m ? k = 4), откуда n = 6 (при этом, напомним, l = 3 и k = 4).

Если k = 3, то из уравнения 1/n + 1/m = 1/3 легко находим два решения: m = 4, n = 12 и m = 6, n = 6 (поясните!).

Итак, если в узле мозаики сходятся четыре многоугольника, мы получаем следующие возможности:

l = k = m = n = 4 (мозаика из квадратов).

l = 3, k = m = 4, n = 6. Этот случай изучен в упражнении 3.

l = k = 3, m = n = 6. Этот случай изучен в упражнении 2. (Из двух возможных звезд только одна приводит к мозаике.)

l = k = 3, m = 4, n = 12. В этом случае, возможны две звезды, в которых число сторон многоугольников образует последовательность 3, 3, 4, 12 или 3, 4, 3, 12.

Упражнение 6. Докажите, что ни в одном из этих случаев правильную мозаику построить невозможно.

Если в каждом узле встречается 5 правильных многоугольников, мы получаем уравнение вида

1/n + 1/m + 1/k + 1/l +1/j = 3/2,

где снова можно считать, что j ? l ? k ? m ? n. Так же, как и выше, легко показать, что j = l = k = 3, и мы в третий раз приходим к уравнению 1/n + 1/m = 1/2, которое дает m = 3, n = 6 или m = n = 4. В первом случае звезда определена однозначно; соответствующую мозаику вы должны были построить, решая упражнение 2. Интересно отметить, что это единственная из 11 мозаик, которая ни при какой осевой симметрии не переходит сама в себя, т. е. имеет две зеркальные версии. Второму решению отвечают два возможных строения узла (3, 3, 3, 4, 4 и 3, 3, 4, 3, 4).

Упражнение 7. Постройте мозаику для каждого из этих случаев.

Осталось рассмотреть последнюю возможность, когда в узле сходятся шесть правильных многоугольников. Здесь, конечно, имеется единственная мозаика – составленная из правильных треугольников (рис. 1а).

Тем самым доказательство того, что существует ровно 11 различных правильных плоских мозаик, завершено.

 Симметрии, орнаменты, кристаллография

 Мозаичные узоры, подобные тому, который вы видите на рис. 1, имеют непосредственное отношение к математической теории кристаллов. А связующим мостиком между ними является понятие кристаллографической группы. Знакомство с ним начнем с изучения строения изображенной здесь мозаики. Рис. 1

 

Выделим в ней одну фигурку («плитку») . Все остальные являются ее копиями – образами при том или ином движении. В данном случае,  все плитки, составляющие мозаику, имеют одну из трех возможных ориентаций, отличающихся друг от друга поворотом на 120 . Поэтому,  любую плитку можно получить из выделенной параллельным переносом или поворотом вокруг некоторого центра на 120  по или против часовой стрелки. Отложим все векторы переносов от одного из центров поворота (рис. 2).   

Рис. 2

Все эти движения являются самосовмещениями нашей мозаики, т. е. каждое из них переводит весь узор в себя. Чтобы задать узор, достаточно указать одну из составляющих его плиток и набор его самосовмещений. Именно набор самосовмещений и определяет структуру мозаики.

Отметим, что какова бы ни была фигура, множество ее самосовмещений обладает следующими важными свойствами: во-первых, вместе с любыми двумя движениями оно содержит их композицию, т. е. движение, возникающее при последовательном их выполнении; во-вторых, оно содержит движение, обратное к любому входящему в него движению; в-третьих, оно содержит тождественное преобразование E. Действительно, если какие-то два движения переводят некоторую фигуру в себя, то в результате их последовательного выполнения она, конечно, тоже перейдет сама в себя – в этом и заключается первое из указанных свойств. Столь же очевидны и два других. По определению, любое множество движений, обладающее тремя перечисленными свойствами, называется группой движений. Таким образом, самосовмещения любой фигуры образуют группу, которая так и называется – группой самосовмещений или группой симметрий этой фигуры. Последнее название отражает наше интуитивное представление о симметричности: чем «больше» группа симметрий фигуры, тем более она симметрична. Например, разносторонний треугольник несимметричен – у него только одно, тождественное, самосовмещение E, у равнобедренного треугольника имеются два самосовмещения – E и симметрия относительно высоты, а у равностороннего целых шесть – кроме тождественного, повороты на 120  и 240  и симметрии относительно всех трех высот (рис. 3).

Рис. 3

С точки зрения симметричности, все равнобедренные треугольники, а также равнобокие трапеции (рис. 4, а) и дельтоиды, т. е. четырехугольники, симметричные относительно одной своей диагонали (рис. 4, б), принадлежат к одному типу – их группы симметрий состоят из двух элементов: E и осевой симметрии.

 

 

  

Рис. 4

К другому типу симметрии относятся прямоугольники, ромбы, эллипсы (рис. 5) – они имеют по две перпендикулярные оси и центр симметрии.

 

 

 

 

Рис. 5

Бесконечные мозаики тоже можно объединять по типам в соответствии с их группами симметрий. Например, мозаика на рис. 6 имеет такую же группу самосовмещений, что и на рис. 1, хотя сложена из других плиток.

Рис. 6

Оказывается, что изучение периодических мозаик, точнее, их групп симметрий важно для математической теории кристаллов. Дело в том, что системы атомов в кристаллических веществах имеют периодическую структуру и их группы симметрий устроены так же, как у мозаик. Именно, векторы параллельных переносов, входящих в эти группы, образуют решетку, т. е. их координаты в некоторой, не обязательно прямоугольной системе координат выражаются всевозможными целыми числами. Собственно говоря, это свойство и служит математическим выражением периодичности. Группы движений, обладающие этим свойством, называются кристаллографическими. Полное описание кристаллографических групп независимо получили русский ученый Е. С. Федоров и немец А. Шенфлис. В своем классическом труде «Симметрия правильных систем фигур» (1890) Федоров вывел все 230 кристаллографических групп в пространстве. На плоскости таких групп меньше – всего 17. Их можно встретить в узорах, которыми украшены стены мечетей, в старинных китайских каркасах для бумажных окон, в рисунках паркета. А в наше время их особенно изобретательно использовал в своих гравюрах замечательный голландский художник Мориц Эшер. Его периодические орнаменты стали по-настоящему популярными – выпускают даже комплекты оберточной бумаги с эшеровскими узорами. Эшер создал десятки, если не сотни, таких рисунков, искусно сплетая фигурки ящериц, морских раковин, всадников, каких-то фантастических существ и т.д. В своем творчестве Эшер использовал и другие математические мотивы, что сделало его одним из любимых художников среди математиков.

В практикуме «Орнаменты» мы предлагаем вам самим средствами «Живой геометрии» создать периодические узоры, подобные эшеровским. Более того, эти узоры будут «живыми» – их можно будет изменять, наблюдая, как в калейдоскопе, игру форм и цветов. Отметим, кстати, что узоры в настоящем калейдоскопе отвечают одному из видов федоровских групп – т.н. группам, порожденным отражениями.

Подробно познакомиться с различными группами симметрий и их приложениями в декоративном искусстве можно, в частности, на сайтах (на английском языке): http://www.emis.de/monographs/jablan/cont.htm и http://www.joma.org/vol1-2/framecss/rintel/Math/math.html.

 

Паркет «Хор моряков»

За основу взята квадратная решетка. Ячейка – квадрат 3х3 клетки.

                

 

 Орнаментальная графика Мориса Эшера.

                                                Рассмотрите паркет, созданный Морисом Эшером.

Все мои произведения — это игры.Серьезные игры.

М. Эшер

 

Голландский художник Мориц Корнилис Эшер, родившийся в 1898 году в Леувардене создал уникальные и очаровательные работы, в которых использованы или показаны широкий круг математических идей.

Когда он учился в школе, родители планировали, что он станет архитектором, но плохое здоровье не позволило Морицу закончить образование, и он стал художником. До начала 50-х годов он не был широко известен, но после ряда выставок и статей в американских журналах (Time и др.) он получает мировую известность. Среди его восторженных поклонников были и математики, которые видели в его работах оригинальную визуальную интерпретацию некоторых математических законов. Это более интересно тем, что сам Эшер не имел специального математического образования.

В процессе своей работы он черпал идеи из математических статьей, в которых рассказывалось о мозаичном разбиении плоскости, проецировании трехмерных фигур на плоскость и неевклидовой геометрии, о чем будет рассказываться ниже. Он был очарован всевозможными парадоксами и в том числе "невозможными фигурами". Парадоксальные идеи Роджера Пенроуза были использованы во многих работах Эшера. Наиболее интересными для изучения идеями Эшера являются всевозможные разбиения плоскости и логика трехмерного пространства.

Мозаики

Регулярное разбиение плоскости, называемое "мозаикой" - это набор замкнутых фигур, которыми можно замостить плоскость без пересечений фигур и щелей между ними. Обычно в качестве фигуры для составления мозаики используют простые многоугольники, например, квадраты или прямоугольники. Но Эшер интересовался всеми видами мозаик - регулярными и нерегулярными (прим. перев. нерегулярные мозаики образуют неповторяющиеся узоры ) - а также ввел собственный вид, который назвал "метаморфозами", где фигуры изменяются и взаимодействуют друг с другом, а иногда изменяют и саму плоскость.

Интересоваться мозаиками Эшер начал в 1936 году во время путешествия по Испании. Он провел много времени в Альгамбре, зарисовывая арабские мозаики, и впоследствии сказал, что это было для него "богатейшим источником вдохновения". Позже в 1957 году в своем эссе о мозаиках Эшер написал:

В математических работах регулярное разбиение плоскости рассматривается теоретически... Значит ли это, что данный вопрос является сугубо математическим? Математики открыли дверь, ведущую в другой мир, но сами войти в этот мир не решились. Их больше интересует путь, на котором стоит дверь, чем сад, лежащий за ней.

Математики доказали, что для регулярного разбиения плоскости подходят только три правильных многоугольника: треугольник, квадрат и шестиугольник. (Нерегулярных вариантов разбиения плоскости  гораздо больше.  В частности, в мозаиках  иногда используются нерегулярные мозаики, в основу которых положен правильный пятиугольник.) Эшер использовал базовые образцы мозаик, применяя к ним трансформации, которые в геометрии называются симметрией, отражение, смещение и др. Также он исказил базовые фигуры, превратив их в животных, птиц, ящериц и проч. Эти искаженные образцы мозаик имели трех-, четырех- и шестинаправленную симметрию, таким образом сохраняя свойство заполнения плоскости без перекрытий и щелей.

В гравюре "Рептилии" маленькие крокодилы играючи вырываются из тюрьмы двухмерного пространства стола, проходят кругом, чтобы снова превратиться в двухмерные фигуры. Мозаику рептилий Эшер использовал во многих своих работах. В "Эволюции 1" можно проследить развитие искажения квадратной мозаики в центральную фигуру из четырех ящериц.

Многогранники

Правильные геометрические тела - многогранники - имели особое очарование для Эшера. Во его многих работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов. Существует лишь пять правильных многогранников, то есть таких тел, все грани которых состоят из одинаковых правильных многоугольников. Они еще называются телами Платона. Это - тетраэдр, гранями которого являются четыре правильных треугольника, куб с шестью квадратными гранями, октаэдр, имеющий восемь треугольных граней, додекаэдр, гранями которого являются двенадцать правильных пятиугольников, и икосаэдр с двадцатью треугольными гранями. На гравюре "Четыре тела" Эшер изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные.

Большое количество различных многогранников может быть получено объединением правильных многогранников, а также превращением многогранника в звезду. Для преобразования многогранника в звезду необходимо заменить каждую его грань пирамидой, основанием которой является грань многогранника. Изящный пример звездчатого додекаэдра можно найти в работе "Порядок и хаос". В данном случае звездчатый многогранник помещен внутрь стеклянной сферы. Аскетичная красота этой конструкции контрастирует с беспорядочно разбросанным по столу мусором. Заметим также, что анализируя картину можно догадаться о природе источника света для всей композиции - это окно, которое отражается левой верхней части сферы.

Фигуры, полученные объединением правильных многогранников, можно встретить во многих работах Эшера. Наиболее интересной среди них является гравюра "Звезды", на которой можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров. Если бы Эшер изобразил в данной работе лишь различные варианты многогранников, мы никогда бы не узнали о ней. Но он по какой-то причине поместил внутрь центральной фигуры хамелеонов, чтобы затруднить нам восприятие всей фигуры. Таким образом нам необходимо отвлечься от привычного восприятия картины и попытаться взглянуть на нее свежим взором, чтобы представить ее целиком. Этот аспект данной картины является еще одним предметом восхищения математиков творчеством Эшера.

Форма пространства

Среди наиболее важных работ Эшера с математической точки зрения являются картины, оперирующие с природой самого пространства. Литография "Три пересекающиеся плоскости" - хороший пример для начала обзора таких картин. Этот пример демонстрирует интерес художника к размерности пространства и способность мозга распознавать трехмерные изображения на двухмерных рисунках. Как будет ниже, Эшер позже использовал данный принцип для создания изумительных визуальных эффектов.

Под влиянием рисунков в книге математика Х. Кокстера Эшер создал много иллюстраций гиперболического пространства. Один из примеров можно увидеть в работе "Предел круга III". Здесь представлен один из двух видов неевклидового пространства, описанных французским математиком Пуанкаре. Чтобы понять особенности этого пространства, представьте, что вы находитесь внутри самой картины. По мере вашего перемещения от центра круга к его границе ваш рост будет уменьшаться также, как уменьшаются рыбы на данной картине. Таким образом путь, который вам надо будет пройти до границы круга будет казаться вам бесконечным. На самом деле, находясь в таком пространстве вы на первый взгляд не заметите ничего необычного в нем по сравнению с обычным евклидовым пространством. Например, чтобы достичь границ евклидового пространства вам также необходимо пройти бесконечный путь. Однако, если внимательно присмотреться, то можно будет заметить некоторые отличия, например, все подобные треугольники имеют в этом пространстве одинаковый размер, и вы не сможете там нарисовать фигуры с четырьмя прямыми углами, соединенными прямыми линиями, так как в этом пространстве не существует квадратов и прямоугольников. Странное место, не правда ли?

Еще более странное пространство показано в работе "Змеи". Здесь пространство уходит в бесконечность в обе стороны - и в сторону края окружности и в сторону центра окружности, что показано уменьшающимися кольцами. Если вы попадете в такое пространство, на что оно будет похоже?

Кроме особенностей евклидовой и неевклидовой геометрий Эшера интересовали визуальные аспекты топологии. Топология изучает свойства тел и поверхностей пространства, которые не изменяются при деформации, например, растяжении, сжатии или изгибе. Единственное, к чему не должна приводить деформация - это к разрыву. Топологам приходится изображать множество странных объектов. Одним из наиболее известных является лента Мебиуса, которая встречается во многих работах Эшера. Это может показаться странным, но у этой поверхности есть только одна сторона и одна кромка. Если вы проследите путь муравьев на литографии "Лента Мебиуса II", то увидите, что муравьи ползут не по противоположным поверхностям ленты, а по одной и той же. Сделать лист Мебиуса очень просто. Надо взять полоску бумаги, изогнуть ее, и склеить противоположные края ленты клеем. Как вы думаете, что случится, если разрезать лист Мебиуса вдоль?

Другая интересная литография назевается "Картинная галерея", в которой изменены одновременно и топология и логика пространства. Мы видим мальчика, который смотрит на картину, на которой нарисован приморский город с магазином на берегу, а в магазине - картинная галерея, а в галерее стоит мальчик, который смотрит на картину, на которой нарисован приморский город ... стоп! Что-то не так...

Для понимания любой картины Эшера требуется внимание и наблюдательность, а эта работа требует особого внимания. Каким-то образом Эшер завернуть пространство в кольцо, и получилось, что мальчик находится одновременно внутри картины и вне ее. Секрет этого эффекта состоит в том, каким образом преобразовано изображение. Понять это можно, анализируя карандашный набросок сетки, которым пользовался Эшер при создании картины. Обратите внимание, что расстояние между линиями сетки увеличивается в направлении движения стрелки часов. Заметим еще, на чем основана хитрость картины - белое пятно в центре. Математики называют это пятно особым местом или особой точкой , где пространства не существует. Не существует способа изобразить этот участок картины без швов или наложений, поэтому Эшер решил эту проблему, поместив в центр картины свой автограф.

Логика пространства

Под "логикой" пространства мы понимаем те отношения между физическими объектами, которые обычны для реального мира, и при нарушении которых возникают визуальные парадоксы, называемые еще оптическими иллюзиями. Большинство художников, экспериментирующие с логикой пространства, изменяют эти отношения между объектами, основываясь на своей интуиции, как, например, Пикассо.

Эшер понимал, что геометрия определяет логику пространства, но и логика пространства определяет геометрию. Одна из наиболее часто используемый особенностей логики пространства - игра света и тени на выпуклых и вогнутых объектах. На литографии "Куб с полосками" выступы на лентах являются визуальным ориентиром того, как расположены полоски в пространстве и как они переплетаются с кубом. И если вы верите своим глазам, то вы никогда не поверите тому, что нарисовано на этой картине.

Еще один из аспектов логики пространства - перспектива. На рисунках, в которых присутствует эффект перспективы, выделяют так называемые точки исчезновения, которые сообщают глазу человека о бесконечности пространства. Изучение особенностей перспективы началось еще во времена возрождения художниками Альберти, Дизаргом и многими другими. Их наблюдения и выводы легли в основу современной геометрии проекций.

Вводя дополнительные точки исчезновения и немного изменяя элементы композиции для достижения нужного эффекта, Эшер смог изобразить картины, в которых изменяется ориентация элементов в зависимости от того, как зритель смотрит на картину. На картине "Cверху и снизу" художник разместил сразу пять точек исчезновения - по углам картины и в центре. В результате, если мы смотрим на нижнюю часть картины, то создается впечатление, что мы смотрим вверх. Если же обратить взгляд на верхнюю половину картину, то кажется, что мы смотрим вниз. Чтобы подчеркнуть этот эффект, Эшер изобразил два вида одной и той же композиции.

Третий тип картин с нарушенной логикой пространства - это "невозможные фигуры". Парадокс невозможных фигур основан на том, что наш мозг всегда пытается представить нарисованные на бумаге двухмерные рисунки как трехмерные. Эшер создал много работ, в которых обратился к этой аномалии. Наиболее интересная работа - литография "Водопад" - основана на фигуре невозможного треугольника, придуманного математиком Роджером Пенроузом. В этой работе два невозможных треугольника соединены в единую невозможную фигуру. Создается впечатление, что водопад является замкнутой системой, работающей по типу вечного двигателя, нарушая закон сохранения энергии. (Примечание. Обратите внимание на многогранники, установленные на башнях водопада.)

Самовоспроизведение и информация

В заключение мы рассмотрим аспекты творчества Эшера, относящиеся к теории информации и искусственному интеллекту. Эта область творчества художника широко освещена во многих статьях и книгах. Наиболее полное исследование этого вопроса освещено в книге Дугласа Хофстадтера (Douglas R. Hofstadter) "Гёдель, Эшер, Бах: Бесконечная золотая нить" (Godel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid), выпущенной в 1980 году и награжденной пулитцеровской премией.

Центральная идея самовоспроизведения, взятая на вооружение Эшером, обращается к загадке человеческого сознания и способности человеческого мозга обрабатывать информацию так, как не сможет обработать ни один компьютер. Литографии "Рисующие руки" и "Рыбы и чешуйки" используют эту идею разными способами. Самовоспроизведение является направленным действием. Руки рисуют друг друга, создавая самих себя. При этом сами руки и процесс их самовоспроизведения неразделимы. В работе "Рыбы и чешуйки" концепция самовоспроизведения представлена более функционально, и в данном случае она может быть названа самоподобием. В этом смысле данная работа описывает не только рыб, а все живые организмы, в том числе и человека. Конечно, мы не состоит из уменьшенных копий самих себя, но каждая клетка нашего тела несет в себе информацию обо всем теле в виде ДНК.

Углубляясь в изучение самовоспроизведения, можно его обнаружить в отражении и пересечении отражений реального мира. Такое пересечение встречается во многих картинах Эшера. Мы рассмотрим лишь один пример - литографию "Три сферы", на которой присутствуют три шаровидных тела, сделанных из разных материалов с различной отражающей способностью. Эти сферы отражают друг друга и художника, и комнату, в которой он работает, и лист бумаги, на котором он рисует сферы. Хофстадтер в своей книге написал "... каждая частица мира содержит в себе весь мир и содержится к во всех других частицах мира...".

Таким образом, мы заканчиваем тем же, с чего начали, - автопортретом художника - его отражением в своей работе.

Заключение

Мы рассмотрели лишь небольшую часть работ из сотен набросков и литографий и гравюр, оставшихся после смерти Эшера в 1972 году. Еще многое будет сказано и уже сказано о значении и важности его работ. С каждым годом появляется все больше и больше книг, где освещается творчество художника, анализируются различные аспекты его творчества. Надеемся, что мы заинтересовали вас творчеством Эшера.

Если мы создаем мир, то пусть он будет не абстрактным и туманным.
Пусть он будет представлен конкретными узнаваемыми вещами.

М.Эшер

 

Орнамент как отпечаток души народа

 

 В народном творчестве, где орнамент нашел наибольшее рас­пространение, постепенно складывались устойчивые формы и принципы построения орнамента, во многом определившие наци­ональные художественные традиции разных народов.

Каждая эпоха, каждая национальная культура выработала свою систему орнамента - мотивы, формы, расположения на украшае­мой поверхности. Поэтому часто по орнаменту можно определить, к какому времени и к какой стране относится то или иное произведение искусства.

Каждый человек ощущает себя частью чего-то: семьи, общества и даже Вселенной. Кроме того, каждый из нас чувствует свою принадлежность к тому или иному этносу.

 Мы живем в многонациональной области. В результате тесного соседства происходило смешение крови разных племен и народов. Это привело к тому, что сегодня каждый второй житель не знает, чья кровь в нём течет.

Но в каждом из нас существует память рода или генетическая память, которая хранит всё, что окружало наших предков.

Пробудить эту дремлющую в нас память нам помогло многоцветье орнаментов. Каждая эпоха, каждая культура вырабатывали свою систему орнаментов. 

В каждом национальном орнаменте узоры были не случайны, а глубоко символичны.

 «Орнамент тем и хорош, что сохраняет следы своего происхождения, как разыгранный кусок природы, животный, растительный, степной, скифский, египетский — какой угодно, национальный или варварский, — он всегда говорящ, видящ, деятелен»
                                                                                                                      О. Мандельштам.

Если Вы остановили свой выбор на орнаментальной композиции, изображающей женские фигурки, то Вашей душе оказался близок русский орнамент. В русских орнаментах присутствовали символы солнца, плодородия, пожелания счастья, материнства, изображались деревья, женские фигурки в сопровождении коней и птиц.

  Если Вас привлек древний языческий орнамент, на котором изображены две всадницы Лада и Леля, руки которых опущены к земле, где вызревает урожай, а вся композиция насыщена солнечными знаками, то, возможно, Ваши предки когда-то жили на Севере России.

 Возможно Вам приглянулся орнамент, по своему виду напоминающий ковер, благодаря плотно положенным стежкам. Это мордовский орнамент. В нем использовались шерстяные нити, преобладали красные и черные тона.

 Если Вас не привлекают фигурки людей и животных, а взгляд Ваш радует буйство красок растительного орнамента, возможно, Ваши корни следует искать среди татар, в орнаменте которых изображения животных, а тем более людей практически не встречаются. Одна из причин этого — запреты мусульманской религии на изображение живых существ

 Если Вам по душе пришелся орнамент, состоящий из стройных геометрических фигур, то Вам близка чувашская культура. Для чувашского орнамента характерно сочетание геометрических узоров с растительными и животными мотивами. Основные цвета -приглушенно-красный, мареновый с желтым, зеленым, синим.

 Если Вас восхитила естественность живых цветов на украинском орнаменте, то, возможно, Ваши предки были украинцами. В украинском орнаменте преобладали геометрические узоры из розеток, ромбов, звёзд, цветов, изображение которых передавалось очень натурально.

 Если Вас покорил блеск золотых виньеток и замысловатый восточный орнамент, то, возможно, Ваши корни следует искать где-нибудь на востоке — в Средней Азии или на Кавказе.

                                            Мордовские узоры

Мордовия с древних времен славилась своими яркими национальными костюмами

( цёрань ды авань оршамопельть) .

 Красота одежды в вышивках, которыми ее украшали. Основные цвета- красный,  

 зеленый, желтый. Узоры оформлялись черной или синей окантовкой.

Пояса (цеко каркс) и налобные повязки (паця коня) – полосы с орнаментом.

В комплект поясных деталей входил карман, подвешиваемый к поясу. Археологические  

          материалы, находки этнографов показывают, что изготовлялись они из кожи, вышитого

          холста, разноцветных лоскутков, образующих симметричный геометрический узор.

Мордовским орнаментом восхищаются и в России, и за границей. Последнее время эрзянская и мокшанская вышивка интересует ученых- этнографов. Они утверждают, что мордовский орнамент-это сложнейшая пластическая система, настолько все в нем гармонично, выверено, точно рассчитано. В узорах на одежде различили родовые знаки- «резы», похожие на древние руны- знаки рунического письма древних скандинавов и германцев.

          Для создания узора используют оси симметрии. Деление на 4 симметричные части- характерная черта вышивок. Расположение декора было строго определено и имеет давние традиции. Обильно украшались ворот, передний шов, нижний разрез и подол. Работа вышивальщицы ответственна. От мастерицы требовалась большая точность, ведь если она ошибется на один лишь стежок, симметрия рисунка нарушится.

 

           Задачи

        1.  Для создания одного элемента узора необходимо сделать 1102 стежка ( по 2 на крестик).

        А таких элементов , если длина одного 10 см, ширина подола 120 см , необходимо 12. Рассчитать количество стежков всей работы.

        2.  Время затрачиваемое на создание одного элемента- 2 часа 15 мин. Рассчитать время необходимое для создания подола.

        3. Стежков красного цвета –546,

                              черного-438,

                               желтого-118.      

          Какой % составляют стежки красного цвета? Белого цвета,черного?

         Построить диаграмму распределения цветов и выяснить преобладающий?